CONCEPTO DE INTEGRAL

 

 

La integración es un concepto fundamental de las matemáticas avanzadas, especialmente en los campos del cálculo.

El cálculo integral es el proceso inverso a la diferenciación. Es decir, es el proceso de determinar la función cuando se conoce su derivada se llama integración, y la función de determinar se denomina la antiderivada o la integral de la función dada, o de otra manera dada la derivada de una función se debe encontrar la función original.

Principio.- Con el objeto de evaluar la antiderivada de alguna función  f(x), debemos encontrar una función F(x) cuya derivada sea igual a f(x), por ejemplo, supongamos que f(x)= 3x2. Puesto que sabemos que (d/dx) (x3)= 3x2, concluimos que podemos decir F(x) = x3, en consecuencia, una antiderivada de  3x2 es x³.

El cálculo integral también involucra un concepto de límite que nos permite determinar el límite de un tipo especial de suma, cuando el número de términos en la suma tiende a infinito.

INTEGRAL INDEFINIDA

Y

SUS APLICACIONES

LA INTEGRAL  INDEFINIDA

 

 

No todas las funciones poseen función primitiva, ya que dada una función puede no

Existir otra que la tenga por derivada.

 

Ahora bien, cuando una función: ƒ(x), posee función primitiva: F(x), ésta no es única,

Sino que existen infinitas funciones primitivas: todas las que difieren de F(x) en una cantidad constante.

 

En efecto, si F(x) es función primitiva de ƒ(x), se verifica que: F '(x) = ƒ(x), pues

Bien, la función F(x) + C, donde C es un número real cualquiera, también es una función

Primitiva de ƒ(x), ya que:

 

 

[F(x) + C]' = [F(x)]' + [C]' = F '(x) + 0 = F '(x) = ƒ(x)

 

 

El conjunto formado por todas las funciones primitivas de una función ƒ(x) se

Denomina integral indefinida de ƒ(x) dx. La integral indefinida se representa por:

 

 

∫ f (x)dx

 

 

Se lee: integral de x diferencial de x.  ∫ es el signo de integración.  f(x) es el integrando o función a integrar.  dx es diferencial de x, e indica cuál es la variable de la función que se integra.  C es la constante de integración y puede tomar cualquier valor numérico real. Si F(x) es una primitiva de f(x) se tiene que:

 

 

∫ f(x) dx = F(x) + C

 

 

Ya que la constante de integración es arbitraria (es decir, puede ser cualquier número real), la integral así obtenida recibe el nombre más propio de integral indefinida

Para comprobar que la primitiva de una función es correcta basta con derivar.

 

 

Ejemplo:

 Determinación de una integral indefinida. Encontrar  ∫ 8 dx.

Solución: Primero debemos encontrar una función cuya derivada sea 8, luego añadimos la constante de integración

Como sabemos que la derivada de 8x es 8, 8x es la antiderivada de 8 (v = 8;   dv = dx), por lo tanto,

 

∫ 8 dx. = 8x + c

 

FORMULAS BÁSICAS DE INTEGRACIÓN:

 

 

  1.  ∫ dx = x + C
  2. ∫ k dx = Kx + C          k es una constante

 

  1.      ∫  xⁿ dx =     + c                                        n ‡-1

                                             

  1.      ∫ ex dx =  ex + C

 

  1.      ∫ kf (x) = k∫ f(x)dx,                                          k es una constante

 

  1.   ∫ [f(x) ± g(x)] dx = ∫ f(x) ± ∫ g(x) dx

 

  1.   ∫  dx = Ln x + c